极值原理

以下考虑更广泛的方程:

位势方程提升到算子方程

考虑方程

(L)Lu:=\laplaceu+c(x)u=f(x).

永远假设 uC2(Ω)C(Ω¯)

弱极值原理

c(x)0f(x)<0. 若 u 满足方程 (L),则 u 不能在 Ω 达到其在 Ω¯ 上的非负最大值.换句话说,

maxΩ¯u=maxΩu.

证明

否则,则最大值点处 \laplaceu0,但 c0u0,从而 f0,但 f<0,矛盾.

某种中等极值原理

c(x)0f(x)0,满足方程 (L),若 uΩ¯ 上有正最大值,则

  1. u 在边界达到最大值,maxΩ¯u=maxΩu
  2. maxΩ¯umaxΩu+,这里 u+=max{u,0}

证明

作微扰:uε=u+εv,这里微扰函数 v=|x|d2[d2,0] 有界,其中 d=\diamΩ . 则

\lcaluε=f(x)+ε(\laplacev)+c(x)εv=f(x)2nεc(x)εv<f(x)c(x)εv0,ε>00.

fε(x)=f(x)2nεc(x)εv,则 uε 满足方程

\lcaluε=fε<0

uε 由弱极值原理

maxxΩ¯uε{0,无非负最大值,maxxΩuε,有非负最大值maxxΩ(uε)+.

注意到 uε|Ω=u,因此 (uε)+|Ω=u+,从而

maxΩ¯umaxΩ¯u+εd2maxΩu++εd2.

即证.

u 最大值为负时,上述引理什么也没有说.

Hopf 引理

BRRn 中半径为 R 的球,其上 c(x)0 有界,若 u 满足

  1. \lcalu0xBR
  2. 存在 x0BR,使得
    • ux0 达到 B¯R 上严格非负最大值,且
    • maxBRu<u(x0)

则对 x0 处任意单位向量 m 满足 (m,ν)<π2,有 um>0

证明

(……)

强极值原理

Ω 为有界连通开集,c(x)0 有界,若 Ω 满足 \lcalu0,且 uΩ 内达到非负最大值,则 uΩ¯ 上为常数.

证明

M=maxΩ¯u0O={xΩ:u(x)=M},则 O 非空. 只需说明 O 相对于 Ω 既开又闭.

闭性

任取 {xn}Oxmx,由连续性知 u(x)=limu(xm)=M

开性

否则,存在 x0ΩOR>0 使得 BR(x0)O 切于 y0,则

  1. y0 处,u 达到 BR(x0) 非负最大值;
  2. 对任意 xBR(x0)u(x)u(y0)=M.

由 Hopf 引理,νu(y0)>0

y0 达最大值,故 u(y0)=0,矛盾.

O 开.

综上

O 既开又闭,故为 M

定理:调和函数最值只在边界上取到

Ω 为有界连通开集,uC(Ω¯) 满足平均值性质,则除非 u 为常数,否则 u 只在 Ω 达到最大值和最小值.

证明

只证最大值情形.令 O={xΩ:u(x)=M},同上知 O 闭.又对任意 x0O,存在 r0 使 Br0Ω,从而由平均值性质

M=u(r0)=1|Br0(x0)|Br0(x0)u(y)\dy

u(y)M,故 u(y)0,即 Br0(x0)O,故 O 为开集.即欲所证.

由题知 f(x)x 单调递减,且先正后负,故其至多有一个零点
若其没有零点,取 infE