以下考虑更广泛的方程:
考虑方程
永远假设 .
弱极值原理
设 ,. 若 满足方程 ,则 不能在 达到其在 上的非负最大值.换句话说,
证明
否则,则最大值点处 ,但 ,,从而 ,但 ,矛盾.
某种中等极值原理
设 ,,满足方程 ,若 在 上有正最大值,则
- 在边界达到最大值,;
- ,这里 .
证明
作微扰:,这里微扰函数 有界,其中 . 则
令 ,则 满足方程
对 由弱极值原理
无非负最大值有非负最大值注意到 ,因此 ,从而
即证.
当 最大值为负时,上述引理什么也没有说.
Hopf 引理
为 中半径为 的球,其上 有界,若 满足
- ,;
- 存在 ,使得
- 在 达到 上严格非负最大值,且
则对 处任意单位向量 满足 ,有 .
证明
(……)
强极值原理
设 为有界连通开集, 有界,若 满足 ,且 在 内达到非负最大值,则 在 上为常数.
证明
令 ,,则 非空. 只需说明 相对于 既开又闭.
闭性
任取 ,,由连续性知 .
开性
否则,存在 , 使得 与 切于 ,则
- 处, 达到 非负最大值;
- 对任意 ,.
由 Hopf 引理, .
又 达最大值,故 ,矛盾.
故 开.
综上
既开又闭,故为 .
定理:调和函数最值只在边界上取到
若 为有界连通开集, 满足平均值性质,则除非 为常数,否则 只在 达到最大值和最小值.
证明
只证最大值情形.令 ,同上知 闭.又对任意 ,存在 使 ,从而由平均值性质
而 ,故 ,即 ,故 为开集.即欲所证.
由题知 单调递减,且先正后负,故其至多有一个零点
若其没有零点,取