以下考虑更广泛的方程：

弱极值原理

设 $c(x)\ge 0$，$f(x)<0$. 若 $u$ 满足方程 $(\text{L})$，则 $u$ 不能在 $\mathrm{\Omega }$ 达到其在 $\overline{\mathrm{\Omega }}$ 上的非负最大值．换句话说，

证明

否则，则最大值点处 $\text{laplace}u\le 0$，但 $c\ge 0$，$u\ge 0$，从而 $f\ge 0$，但 $f<0$，矛盾．

某种中等极值原理

设 $c(x)\ge 0$，$f(x)\le 0$，满足方程 $(\text{L})$，若 $u$ 在 $\overline{\mathrm{\Omega }}$ 上有正最大值，则

1. $u$ 在边界达到最大值，$\underset{\overline{\mathrm{\Omega }}}{max}u=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{max}u$；
2. $\underset{\overline{\mathrm{\Omega }}}{max}u\le \underset{\partial \mathrm{\Omega }}{max}{u}^{+}$，这里 $u^{+}=max\{u,0\}$ ．

证明

作微扰：$u^{\epsilon }=u+\epsilon v$，这里微扰函数 $v=|x|-d^2\in [-d^2,0]$ 有界，其中 $d=\text{diam}\mathrm{\Omega }$ ． 则

令 $f^{\epsilon }(x)=f(x)-2n\epsilon -c(x)\epsilon v$，则 $u^{\epsilon }$ 满足方程

对 $u^{\epsilon }$ 由弱极值原理

注意到 $u^{\epsilon }{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}=u$，因此 $(u^{\epsilon }{)}^{+}{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}=u^{+}$，从而

即证．

当 $u$ 最大值为负时，上述引理什么也没有说．

Hopf 引理

$B_R$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中半径为 $R$ 的球，其上 $c(x)\ge 0$ 有界，若 $u$ 满足

1. $\text{lcal}u\le 0$，$\mathrm{\forall }x\in B_R$；
2. 存在 $x_0\in \partial B_R$，使得
   • $u$ 在 $x_0$ 达到 ${\overline{B}}_R$ 上严格非负最大值，且
   • $\underset{B_R}{max}u<u(x_0)$

则对 $x_0$ 处任意单位向量 $m$ 满足 $\mathrm{\angle }(m,\nu )<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$，有 ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial m}}>0$ ．

证明

（……）

强极值原理

设 $\mathrm{\Omega }$ 为有界连通开集，$c(x)\ge 0$ 有界，若 $\mathrm{\Omega }$ 满足 $\text{lcal}u\le 0$，且 $u$ 在 $\mathrm{\Omega }$ 内达到非负最大值，则 $u$ 在 $\overline{\mathrm{\Omega }}$ 上为常数．

证明

令 $M=\underset{\overline{\mathrm{\Omega }}}{max}u\ge 0$，$\mathcal{O}=\{x\in \mathrm{\Omega }:u(x)=M\}$，则 $\mathcal{O}$ 非空． 只需说明 $\mathcal{O}$ 相对于 $\mathrm{\Omega }$ 既开又闭．

闭性

任取 $\{x_n\}\subset \mathcal{O}$，$x_m\to x^{\ast }$，由连续性知 $u(x^{\ast })=limu(x_m)=M$ ．

开性

否则，存在 $x_0\in \mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }\mathcal{O}$，$R>0$ 使得 $B_R(x_0)$ 与 $\partial \mathcal{O}$ 切于 $y_0$，则

1. $y_0$ 处，$u$ 达到 $B_R(x_0)$ 非负最大值；
2. 对任意 $x\in B_R(x_0)$，$u(x)\le u(y_0)=M$.

由 Hopf 引理，${\partial }_{\nu }u(y_0)>0$ ．

又 $y_0$ 达最大值，故 $\mathrm{\nabla }u(y_0)=0$，矛盾．

故 $\mathcal{O}$ 开．

综上

$\mathcal{O}$ 既开又闭，故为 $M$ ．

定理：调和函数最值只在边界上取到

若 $\mathrm{\Omega }$ 为有界连通开集，$u\in C(\overline{\mathrm{\Omega }})$ 满足平均值性质，则除非 $u$ 为常数，否则 $u$ 只在 $\partial \mathrm{\Omega }$ 达到最大值和最小值．

证明

只证最大值情形．令 $\mathcal{O}=\{x\in \mathrm{\Omega }:u(x)=M\}$，同上知 $\mathcal{O}$ 闭．又对任意 $x_0\in \mathcal{O}$，存在 $r_0$ 使 $B_{r_0}\in \mathrm{\Omega }$，从而由平均值性质

而 $u(y)\le M$，故 $u(y)\equiv 0$，即 $B_{r_0}(x_0)\subset \mathcal{O}$，故 $\mathcal{O}$ 为开集．即欲所证．

由题知 $f(x)-x$ 单调递减，且先正后负，故其至多有一个零点
若其没有零点，取 $infE$